Имеем ли мы право (ООО) оформлять Договор-счёт на оказание рекламных услуг в одностороннем порядке?

Договор заключается путем оферты и её акцепта, при подписании единого документа момент оферты и акцепта совпадает. В вашем случае счет будет офертой, а его оплата - акцептом.

Следует иметь в виду, что должны быть согласованы существенные условия оказания услуг, либо в счете, либо в утвержденных исполнителем общих условиях, либо ином документе. Акт об оказании услуг подписывается, чем будет подтверждаться факт оказания услуги? Для учета должны быть оригиналы документов, при такм способе заключения договора оригиналы все равно направляются контрагентами друг другу по почте, например. Оригиналы первичных учетных документов должны быть согласно Закону о бухгалтерском учете:

Вы направляете оферту, сторона совершает конклюдентное действия-оплату. Сделка совершается. Все разногласия в таких случаях при исполнении-регулируются только ГК РФ, так как договором вы отступления не сделали, в виду его отсутствия фактического отсутствия.

Счет советую выписывать в двух экземплярах - один из которых останется в бухгалтерской документации.

Уточните, пожалуйста, насколько я поняла, в делаете договор - счет в отношении себя? Что значит "мы платим по такому договору"? Вы якобы заказали услугу, сами сделали договор - счет, сами его оплатили? А вторая сторона в курсе?