Могут ли меня выписать за неуплату или обязать оплатить долги моей мамы?

Здравствуйте Ульяна!

В случае, если управляющая компания (или ТСЖ, в зависимости от того, кто занимается вопросами ресурсообеспечения в доме/квартире) подаст на Вас в суд за не уплату долгов, суд может решить вопрос не в Вашу пользу и обязать выплатить задолженность, пени, а так же судебные расходы (здесь нужно изучить всю ситуацию более детально, ведь Вы не проживаете фактически).
Что касается выселения (вопрос о выписки из квартиры), см. п. 1, Ч. 4, Ст. 83 ЖК РФ (выделено полужирным шрифтом):

Статья 83. Расторжение и прекращение договора социального найма жилого помещения

1. Договор социального найма жилого помещения может быть расторгнут в любое время по соглашению сторон.
2. Наниматель жилого помещения по договору социального найма с согласия в письменной форме проживающих совместно с ним членов его семьи в любое время вправе расторгнуть договор социального найма.
3. В случае выезда нанимателя и членов его семьи в другое место жительства договор социального найма жилого помещения считается расторгнутым со дня выезда, если иное не предусмотрено федеральным законом.
4. Расторжение договора социального найма жилого помещения по требованию наймодателя допускается в судебном порядке в случае:
1) невнесения нанимателем платы за жилое помещение и (или) коммунальные услуги в течение более шести месяцев;
2) разрушения или повреждения жилого помещения нанимателем или другими гражданами, за действия которых он отвечает;
3) систематического нарушения прав и законных интересов соседей, которое делает невозможным совместное проживание в одном жилом помещении;
4) использования жилого помещения не по назначению.
5. Договор социального найма жилого помещения прекращается в связи с утратой (разрушением) жилого помещения, со смертью одиноко проживавшего нанимателя.

Т.о. до своего совершеннолетия Вы были защищены законом. На данный момент ситуация изменилась. Здесь вопрос в корне стоит по-другому - чего Вы желаете, а именно: вселиться в указанную квартиру, просто сохранить "прописку", иное?
Подумайте, может быть стоит приватизировать квартиру, затем продать свою долю (все равно Вы проживаете в ином месте)? Или провести обмен в другую квартиру, так же по договору социального найма?
Надеюсь, Вы сможете найти общий язык с Вашими родственниками, все-таки близкие люди!