Нужно ли перед переездом обращаться в паспортный стол и выписываться из старого города?

Да - вы правы - Либо без всяких бюрократических проволочек, можно ехать в город Б и там в паспортном столе меня и выпишут и впишут?

Здравствуйте, Кристина.

Согласно Правил регистрации и снятия граждан РФ с регистрационного учета по месту пребывания .и по месту жительства в пределах РФ... (Постановление Правительства РФ от 17.07.95 №713, ред. от 15.08.14)

31. Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:

а) изменения места жительства - на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства (в письменной форме или в форме электронного документа). При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета;

Соответственно, вы имеете право подать заявление и документы для регистрации по новому месту жительства, т.е. в городе Б. После этого вас автоматически должны выписать с предыдущего места жительства в городе А.