Позаимствовала у другого магазина название для своего. Чем это грозит?

Здравствуйте! У меня есть отдел по продаже постельного белья. При открытии я объявила в поселке конкурс на лучшее название. Когда оно было выбрано, я в поисковике в Яндексе набрала его. Конечно же, магазины с таким названием уже есть. Я взяла идею оформления в одном интернет-магазине, немного изменив фон, цветовую палитру, но оставила их логотип и слоган, но на своей вывеске они другим шрифтом. Также создала группу в социальных сетях под этой вывеской. Этот интернет-магазин нашел меня и выдвигает теперь различные требования следующего содержания: "Я считаю, что Вы со своей стороны должны сделать следующее - во-первых, вернуть нам доступ в свою группу (для контроля), во-вторых - удалить объекты авторского права, принадлежащие нам и из группы, и с вывески своего магазина (предоставив фотоотчет), после этого конфликт можно будет считать решенным и можно будет перейти к обсуждению вариантов возможного разрешения нами использования нашей интеллектуальной собственности с определенной компенсацией. И в-третьих, было бы неплохо от Вас в Вашей группе увидеть Ваши публичные извинения перед нами за использование принадлежащих нам логотипа и слогана." Я в свою очередь попросила предоставить документы, подтверждающие их авторское право, на что они ответили отказом, сказали, что я не имею право их требовать, и они будут обращаться в суд. Я нахожусь на территории РФ, а они в Украине. Чем мне все это грозит, какие могут быть последствия и как лучше поступить? Спасибо.