Как должен быть зафиксирован факт передачи денег за возмещение ущерба?

Здравствуйте! Состава преступления здесь нет, поскольку ущерб указывают не значительный.

Кодекс РФ об административных правонарушениях предусматривает след. ответственность.

Статья 7.17. Уничтожение или повреждение чужого имущества
Умышленное уничтожение или повреждение чужого имущества, если эти действия не повлекли причинение значительного ущерба, -
влечет наложение административного штрафа в размере от трехсот до пятисот рублей.

Что касается законности требований - то необходимо конечно обосновать стоймость уничтоженного (поврежденного) имущества. Возможно она завышена.
Факт передачи денег может быть зафиксирован путем написания расписки, в которой обязательно должно быть написано кто получил деньги (полностью ф.и.о.), за что, сумму прописью, от кого (полностью ф и.о. паспортные данные) и что "получатель" никаких материальных претензий к "должнику" не имеет, ущерб возмещен в полном об"еме (слова в кавычках пишу условно, указывайте ф.и.о).

Насчёт ответственности административной и уголовной можете не волноваться. Здесь её не будет, если конечно он не ломал кий специально.

Насчёт оплаты, то лучше сделать как коллеги в первых двух ответах. Составьте акт порчи имущества, пусть из бухгалтерии приобщат справку о балансовой стоимости и оформите передачу денег распиской с обязательным указанием того, за что они переданы.